TÓM TẮT:
Việc thể hiện các kết quả nghiên cứu hai đại lượng có quan hệ phụ thuộc thường được trình bày dưới dạng bảng hay đồ thị thể hiện các cặp số liệu rời rạc. Rất ít trường hợp kết quả được trình bày dưới dạng mô hình toán học hay biểu thức toán học. Bài báo này trình bày ý tưởng các bước xây dựng công thức tính toán có thể bổ sung hoặc thay thế cho một số loại bảng biểu, đồ thị. Công thức tính còn có thể dùng để nội suy phi tuyến một số bảng biểu trong các tài liệu tra cứu.
Từ khóa: Tra bảng, công thức tính, nội suy phi tuyến, khai triển Taylor.
1. Đặt vấn đề
Khi trình bày các kết quả khảo sát, nghiên cứu thực nghiệm người ta thường trình bày dưới dạng bảng hoặc đồ thị biểu diễn một tính chất Y phụ thuộc vào một tính chất X của đối tượng nghiên cứu. Về bản chất Y là một hàm số của một biến X, ta có Y=f(X).
Trong bài báo này, tác giả trình bày cách thức xây dựng công thức tính toán bổ sung thêm cho phương pháp trình bày kết quả bằng bảng biểu. Công thức Y=f(X) mô tả chính xác các kết quả nghiên cứu bằng một biểu thức toán học đẹp đẽ.
Công thức tính toán còn dùng để nội suy phi tuyến thay cho phương pháp tính toán nội suy thường dùng khi tra bảng. Có thể sử dụng phương pháp lập công thức để chuyển đổi một số bảng tra số liệu trong các tài liệu tra cứu quy phạm kỹ thuật giúp ích cho việc tính toán và lập trình bằng máy tính.
2. Bài toán và trình tự xây dựng công thức
2.1. Bài toán
Xét trường hợp đại lượng nghiên cứu Y có quan hệ phụ thuộc với đại lượng X được trình bày dưới dạng bảng hoặc dạng đồ thị (Hình 1).
Phương pháp nội suy tuyến tính có ưu điểm là tính toán đơn giản. Tuy nhiên nhược điểm của phương pháp là sử dụng các giá trị khác nhau ứng với các khoảng chứa x, y để nội suy, nên dễ gây nhầm lẫn. Nếu sử dụng phương pháp này trong lập trình sẽ gặp nhiều khó khăn, phức tạp.
Vì vậy từ các cặp số liệu trên cần xây dựng một biểu thức tính toán duy nhất bổ sung cho bảng biểu. Biểu thức tính toán lập được có dạng hàm số y= f(x) là một đa thức bậc n và Hàm số xác định trong khoảng [a;b].
Cơ sở lý thuyết và các bước xây dựng công thức được trình bày trong mục 2.2 và mục 2.3.
2.2. Cơ sở lý thuyết
Như ta đã biết, một hàm số y = f(x) có thể được cho dưới dạng bảng hoặc dạng biểu thức. Nếu hàm số ở dạng biểu thức ta có thể dễ dàng lập được bảng giá trị của hàm số với x= và y = f( . Nếu y=f(x) liên tục và có đạo hàm hữu hạn đến cấp n trên tập xác định [a;b] thì y=f(x) có thể triển khai dạng xấp xỉ theo dạng hàm đa thức bậc n.
2.3. Trình tự xây dựng công thức
3. Các ví dụ minh họa
3.1. Ví dụ 1: Viết công thức tính toán biểu diễn mối quan hệ y=f(x) theo công thức (4) với số liệu cho theo Bảng 1.
Bảng 1. Bảng số liệu hai đại lượng có quan hệ phụ thuộc
|
x |
2 |
3 |
4 |
|
y |
3 |
6 |
8 |
- So sánh kết quả theo công thức (4.1.1) và nội suy tuyến tính
Công thức (4.1.1) mô tả chính xác các điểm cho trong bảng. Ngoài ra còn cho phép tính toán giá trị y tại mỗi điểm x bất kỳ trong khoảng [3;4]. Kết quả tính toán theo công thức cũng phù hợp với phương pháp tra bảng và nội suy tuyến tính. (Hình 2)
3.2. Ví dụ 2: Chuyển đổi bảng tra 2 theo dạng công thức tính (4). (Bảng 2)
- So sánh kết quả theo công thức và nội suy tuyến tính
Nhận thấy các công thức tìm được ở trên đều là các hàm đa thức có thể biểu diễn bằng đồ thị là các đường cong trơn như Hình 3.
So sánh khi sử dụng công thức tính từ (4.2.1) đến (4.2.5) và phương pháp nội suy tuyến tính. Kết quả ở Bảng 4 cho thấy độ chính xác phù hợp với yêu cầu tính toán.
4. Kết luận
Với các bảng biểu số liệu mô tả các đại lượng nghiên cứu phụ thuộc đều cho phép xây dựng công thức biểu diễn mối quan hệ của các đại lượng nghiên cứu bằng một hàm toán học.
Bản chất các thuộc tính của các đại lượng nghiên cứu đều là ngẫu nhiên và gần đúng. Vì vậy, việc xây dựng công thức đạt được yêu cầu cho giá trị xấp xỉ với độ chính xác cần thiết. Độ chính xác của công thức (4) càng cao khi ta có bảng các cặp số liệu lớn, dày đặc hơn.
Khi một đại lượng nghiên cứu phụ thuộc vào nhiều đại lượng khác ta có bảng hai chiều, ba chiều... Việc trình bày kết quả bằng bảng biểu cho những trường hợp này là rất phức tạp và khó thực hiện. Trong trường hợp này việc xây dựng một biểu thức tính toán tương tự là thực sự cần thiết.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán học cao cấp, tập 1+2, NXB Giáo dục 2006;
- Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng thẩm định - Bộ Khoa học và Công nghệ (1999), Tuyển tập tiêu chuẩn xây dựng của Việt Nam, Trang 35, TCVN 5574:91, NXB Xây dựng, Hà Nội.
Building supplemental formulas for some tables in scientific reports or scholarly documents
Master. Hoang Quoc Thang
Hanoi Architectural University
ABSTRACT:
The results of surveys or studies on two interdependent subjects is often represented by tables or graphs. Very few cases are modeled mathematically and represented by mathematical expressions. This article presents ideas on steps to establish calculation formulas that can supplement or replace some types of tables and graphs. The calculation formula can also be used to nonlinearly interpolate some numerical data or information in scientific reports or scholarly documents.
Keywords: Lookup tables, formulas, nonlinearly interpolation method, Taylor expansion formula.
[Tạp chí Công Thương - Các kết quả nghiên cứu khoa học và ứng dụng công nghệ, Số 25, tháng 10 năm 2020]
