TÓM TẮT:
Tiếng ồn trắng (tạp âm trắng, nhiễu trắng) có vai trò hết sức trong các mô hình tài chính, kinh tế, vận tải, y học… đặc biệt là các mô hình dự báo giá trong tài chính. Dựa vào tính chất ngẫu nhiên của nhiễu trắng mà nhiều mô hình toán học đã được xây dựng để ước lượng các tham số trong các mô hình dự báo giá tài sản như dự báo giá chứng khoán.
Từ khóa: Tiếng ồn trắng, nhiễu trắng, mô hình tài chính.
1. Nguồn gốc của tên gọi tiếng ồn trắng
Chúng ta sử dụng màu sắc để mô tả về các loại ánh sáng khác nhau, chúng ta cũng sử dụng các màu sắc khác nhau để mô tả các loại âm thanh. Ánh sáng trắng là sự hòa trộn của tất cả các bước sóng ánh sáng trong giới hạn nhìn thấy của con người. Tương tự như vậy, tiếng ồn trắng là sự trộn lẫn của tất cả các tần số âm thanh trong giới hạn nghe thấy của con người. Tên gọi tiếng ồn trắng bắt nguồn từ sự tương đồng giữa âm thanh và ánh sáng, tất cả đều được thể hiện dưới dạng tần số và bước sóng. Như vậy, việc dùng màu sắc để đặt tên cho âm thanh là do sự giống nhau về biểu diễn bằng tần số. Sự sai khác lớn nhất của âm thanh và ánh sáng đó chính là âm thanh cần môi trường vật chất để truyền đi các dao động của mình còn ánh sáng có thể truyền qua chân không.
Với mỗi tần số khác nhau thì chúng ta sẽ nghe được âm thanh khác nhau. Khi mô tả âm thanh bằng tần số, chúng ta biểu diễn âm thanh bằng đồ thị và chúng ta có phổ nghe được là các đường nằm trong miền 20Hz đến 20000Hz. Hoàn toàn giống như vậy, ánh sáng cũng được mô tả bằng đồ thị bởi các đường biểu diễn bước sóng ánh sáng. Phổ nhìn thấy được của con người là từ 390nm đến 780nm.
2. Định nghĩa nhiễu trắng trong tài chính
Tiếng ồn trắng là sự kết hợp của tất cả các tần số âm thanh, vì vậy, tại một thời điểm nào đó, sự xuất hiện của một tần số là bất kỳ, hoàn toàn ngẫu nhiên, có thể cao hoặc thấp, không thể biết trước được. Sự biến thiên hoàn toàn mang tính ngẫu nhiên và không có các phần tử mang tính hệ thống nào khi xuất hiện trong các quá trình ngẫu nhiên tài chính thay vì gọi là tiếng ồn trắng, chúng ta thường gọi là nhiễu trắng.
Trong khoa học ứng dụng, nhiễu trắng thường được biểu diễn một cách toán học là quá trình bao gồm sự ngẫu nhiên và thay đổi cực kỳ bất thường. Nhiễu trắng có thể được xem như là đạo hàm của chuyển động Brown. Chuyển động Brown là chuyển động được nhà sinh vật học Robert Brown quan sát và mô tả vào năm 1827, đó là chuyển động của các phân tử rất nhỏ trong phấn hoa khi được nhúng trong nước, các chuyển động này vô cùng bất thường, không theo một quy tắc nào. Những chuyển động như vậy được gọi là chuyển động Brown. Bằng toán học chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiên liên tục dừng B(t) có các số gia độc lập và với mỗi t, B(t) là một biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình 0 và phương sai t. B(t) là quá trình không khả vi tại bất kỳ điểm nào. Nói cách khác là B(t) không có xu hướng, tại bất kỳ điểm nào, giá trị xuất hiện của B(t) là hoàn toàn ngẫu nhiên, có thể tăng hoặc giảm một cách đột ngột; giống như chuyển động của các phân tử trong hạt phấn hoa mà Robert Brown đã quan sát. Nhiễu trắng được hiểu là đạo hàm dB(t)/dt của B(t) không tồn tại theo nghĩa thông thường. Để đưa ra một định nghĩa toán học cho nhiễu trắng, chúng ta cần so sánh hàm số và quá trình ngẫu nhiên. Một hàm số thông thường là một hàm số f(t) của số thực t. Một hàm mở rộng là một hàm f[u] của hàm thử u. Một quá trình ngẫu nhiên thông thường là một hàm X(t) của t sao cho với mỗi t, X(t) là một biến ngẫu nhiên. Do đó, một quá trình ngẫu nhiên mở rộng là một hàm X[u] của u sao cho với mỗi u, X[u] là một biến ngẫu nhiên. Nhiễu trắng được định nghĩa như là quá trình ngẫu nhiên mở rộng X[u] sao cho với mỗi u, biến ngẫu nhiên X[u] là Gauss với mean bằng 0 và variance là tích phân của u2.
Vào năm 1975, T. Hida đưa ra lý thuyết về nhiễu trắng. Trong lý thuyết này, với mỗi t, nhiễu trắng dB(t)/dt là một hàm mở rộng trên một không gian vô hạn chiều. Không chỉ dB(t)/dt mà tất cả các phái sinh của chuyển động Brown đều là các hàm mở rộng trên cùng không gian.
3. Ứng dụng của nhiễu trắng trong tài chính
Mục đích chính trong việc mô hình thống kê là để tách ra thông tin cơ bản của các quá trình nhiều nhất có thể và để lại phần dư xấp xỉ một nhiễu trắng. Nhiễu trắng là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Một cách toán học, nó có phổ xác định, giống như ánh sáng trắng chúng ta nhìn thấy bằng mắt.
Các nhà phân tích tài chính đã áp dụng nhiễu trắng để mô hình các thị trường chứng khoán. Thực tế nhiễu trắng hay tiếng ồn trắng đã được sử dụng trong xung lực, tổng hợp âm thanh, nghệ thuật, điều trị giấc ngủ, vân vân. Nhiễu trắng là dạng cơ bản của quá trình ngẫu nhiên cung cấp nền tảng cho hầu hết tất cả các mô hình thống kê ứng dụng được dùng trong khoa học tự nhiên và khoa học xã hội.
Các mô hình chuỗi thời gian dự báo giá tài sản, giá chứng khoán/ cổ phiếu:
3.1. Mô hình một bước thời gian
Mô tả chuyển động của S sau một bước thời gian từ 0 đến T bằng phương trình:
∆S = µS + σSε
Trong đó:
S = S0 là giá của cổ phiếu S tại thời điểm 0
∆S = ST - S0 là độ thay đổi giá cổ phiếu từ thời điểm 0 đến thời điểm T,
µ là mức lợi nhuận kỳ vọng, còn được gọi là hệ số trượt (drift) của mô hình,
là phần ngẫu nhiên đã chuẩn
hóa của mô hình, thành phần này có đặc điểm như một nhiễu trắng trong mô hình,
có trung bình 0 và độ lệch chuẩn 1.
3.2. Mô hình với thời gian rời rạc
Mô hình định giá cổ phiếu tại thời điểm thứ n trong tập các mốc thời gian được cho bởi phương trình sau:
Trong đó:
Sn là giá cổ phiếu tại mốc thời gian thứ n, S0 > 0,
µn là mức kỳ vọng tại thời điểm n-1 cho một bước chuyển động của giá, hay hệ số trượt của mô hình,
σn là hệ số volatility - hệ số biến động của mô hình,
εn là phần ngẫu nhiên đã chuẩn hóa của mô hình, có trung bình 0 và độ lệch chuẩn 1; đóng vai trò nhiễu trắng trong mô hình.
3.3. Mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIMA
Năm 1976, GeorgeBox và Gwilym Jenkins đã đưa ra mô hình tự hồi quy (AR - Autoregressive Model) và mô hình trung bình trượt (MA - Moving - Average Model) và sự kết hợp của hai mô hình này là mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) của chuỗi thời gian.
Mô hình AR được cho như sau:
St - µ = α1(St-1 - µ) + εt
Trong đó: St là giá tài sản tại thời gian t, µ là hệ số trượt của mô hình hay là trung bình của chuỗi thời gian St, εt là nhiễu trắng của mô hình. Mô hình này là mô hình tự tương quan bậc 1 AR(1), mô hình tự tương quan bậc p được cho như sau:
Mô hình AR(p):
St - µ = α1(St-1 - µ) + α2(St-2 - µ) +...+ αp(St-p - µ) + εt
Trong đó: St là giá tài sản tại thời gian t, µ là hệ số trượt của mô hình hay là trung bình của chuỗi thời gian St, εt là nhiễu trắng của mô hình.
Mô hình trung bình trượt bậc nhất MA(1):
St = µ + β0εt + β1εt-1
Trong đó: St là giá tài sản tại thời gian t, µ là hệ số trượt của mô hình, εt là nhiễu trắng.
Mô hình trung bình trượt bậc q MA(q):
St = µ + β0εt + β1εt-1 + β2εt-2 +...+ βqεt-q
Trong đó: t-i là các nhiễu trắng.
Kết hợp hai loại mô hình này ta được mô hình tự hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIMA(p,d,q), trong đó p, d, q là các hằng số dương; p là bậc của trễ trong mô hình AR, d là bậc của vi phân hay chính là số lần dữ liệu trừ đi các giá trị trong quá khứ, và q là bậc của mô hình MA. Mô hình ARMA(p,q) có phương trình như sau:
St - α1St-1 - ... - αpSt-p = εt + β1εt-1 +...+ βqεt-q
Với một số giá trị tham số p, d, q phổ biến ta có các mô hình cụ thể sau:
* ARIMA(0,0,0) chính là mô hình nhiễu trắng.
ARIMA(0,1,0) là mô hình St = St-1 + t, chính là một du động ngẫu nhiên.
* ARIMA(0,1,0) với một hằng số St = µ + St-1 + t là một du động ngẫu nhiên có hệ số trượt.
* ARIMA(0,1,1) không có hằng số là mô hình dự báo san bằng mũ S0 = x0, St = αxt + (1 - α)St-1, t>0; 0<<1.
* ARIMA(0,1,2) là mô hình Holt
* ARIMA(0,2,2) là mô hình: St = 2St-1 - St-2 + (α + β - 2)εt-1 + (1 - α)εt-2 + εt
trong đó εt là các nhiễu trắng.
Trong thực tế chúng ta thường chỉ sử dụng mô hình ARIMA với bậc không quá (2,2,2).
3.4. Mô hình ARCH và GARCH
Mô hình ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity) - mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy:
rt = µt + ut
ut = σtεt
σ2t = α0 + α1u2t-1 + α2u2t-2 +... + αpu2t-p
Trong đó: rt là lợi suất, µt là trung bình của lợi suất, σ2t là độ biến động của lợi suất, ut là các cú shock tại các thời điểm t, εt là nhiễu trắng. Mô hình ARCH dùng để dự báo lợi suất r, mô hình chỉ ra rằng các cú shock lớn có thể xảy ra do ảnh hưởng của các cú shock lớn khác trong quá khứ.
Mở rộng của mô hình ARCH là mô hình ARCH tổng quát hay mô hình GARCH (Mở rộng Autoregressive conditioned heteroskedasticity):
Trong đó:
; và εt là nhiễu trắng. Hơn nhiễu p > q
thì βi = 0 thì i > q, và p > q thì αi = 0 và i > p .
3.5. Mô hình Black Scholes và ứng dụng trong tài chính của định lý Black S - Ocone
Mô hình Black Scholes được dùng để định giá quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình Black Scholes được cho như sau . Trong đó, là giá của quyền chọn tại thời điểm t, r là lợi suất log trung bình của S, là hệ số biến động volatility, B là chuyển động Brown - chuyển động hoàn toàn ngẫu nhiên, phần ở đây đóng vai trò nhiễu trắng của mô hình. Nghiệm của phương trình vi phân này là:
Bằng lý thuyết toán học tương đối phức tạp dựa trên những hiểu biết về tích phân Ito, người ta đã đưa ra công thức Black Scholes dẫn từ mô hình Black Scholes ở trên để xác định giá của quyền chọn. Cụ thể như sau:
Giá của quyền chọn mua là:
C(t,S) = SN(d1) - Ke-r(T - t)N(d2)
Và giá của quyền chọn bán là:
P(t,S) = Ke-r(T-t)N(-d2) - SN(-d1)
trong đó:
(T- t) là thời gian còn lại đến kỳ hạn, S là giá giao ngay của tài sản cơ sở, K là giá thực thi.
Cho đến nay, mô hình Black Scholes đã được mở rộng rất nhiều, một trong những định lý quan trọng có tính ứng dụng của định lý Black Scholes là định lý Clark Ocone với ứng dụng trong tài chính để định giá tài sản như sau:
(i) Tài sản không rủi ro (Bond)
dS0(t) = p(t)S0(t),S0(t) = 1
(ii) Tài sản có rủi ro (Stock)
dS1(t) = µ(t)S1(t)dt + σ(t)S1(t)dW(t),
S1(0)>0.
Trong đó:
là các quá trình F-tương thích, là không gian xác suất; sao cho:
Cho θ(t) = θ(t,ω) = (θ0(t),θ1(t)), ω Є Ω, ký hiệu số đơn vị được đầu tư tại thời gian t trong các tài sản không rủi ro và có rủi ro. Giả sử portfolio Vθ là tự hạch toán, tức là:
dV0(t) - 00(t)dS0(t) + 01(t)dS1(t)
Thị trường bao gồm một bond và một stock được định hướng bởi một chuyển động Brown một chiều và không có ràng buộc trên portfolio, thị trường là hoàn hảo, tức là mỗi tài sản tài chính có giá trị phụ thuộc là có thể đạt được. Ta định nghĩa giá thị trường của rủi ro:
Từ định lý Girsanov, ta có: 
là một chuyển động Brown theo Q.
4. Kết luận
Bài viết đã trình bày về định nghĩa tiếng ồn trắng nói chung và tiếng ồn trắng nói riêng trong tài chính, hay còn được gọi là nhiễu trắng. Quá trình này là quá trình ngẫu nhiên, được mô tả bởi chuyển động Brown. Nó là phần được tách ra từ dãy số liệu của một quá trình ngẫu nhiên trong tài chính, như là quá trình giá tài sản theo thời gian. Giá tài sản mà chúng ta đang quan tâm sẽ được phân tích thành phần có thể dự đoán được qua các mô hình với các tham số, các tham số này bằng các thuật toán có thể ước lượng được tương đối chính xác; và một phần còn lại của quá trình giá là phần hoàn toàn ngẫu nhiên, có mean 0 và một phương sai nào đó có thể chuẩn hóa về 1 được gọi là nhiễu trắng. Mọi quá trình giá tài sản muốn dự đoán thông qua các mô hình toán học đều chứa phần nhiễu ngẫu nhiên này. Nhiều mô hình toán học đã được đưa ra để dự báo giá của tài sản theo thời gian, trong đó có ứng dụng nhiều trong thực tiễn hơn cả là các mô hình ARIMA, GARCH, Black Scholes và Clark Oconen.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Nguyễn Tiến Dũng, Đỗ Đức Thái, Nhập môn Toán tài chính, Sputnik education, 2014.
2. Bernt Øksendel, Some applications of white noise analysis to mathematical finance, The 52nd Session of the International Statistical Institute, August 10-18, 1999, Helsinki, Finland.
3. Giulia Di Nunno, Bernt Øksendel, Frank Proske, White noise analysis for Lévy processes, Journal of Functional Analysis, Volume 206, Issue 1, 10 Jan 2004, Pages 109 – 148.
4. Hui-Hsiung Kuo, Stochastic integration via white noise analysis, Nonlinear Analysis: Theory, Method and Applications, Volume 30, Issue 1, Dec 1997, Page 317 - 328;
5. Knut Aase, Bernt Øksendel, Nicolas Privaul, and Jan Ube, White noise generalization of the Clark – Haussmann – Ocone theorem, with application to mathematical finance, Finance and Stochastics, Volume 4, No.4, November 2000.
6. Robert J. Elliott, John Van de Hoek, A general fraction white noise theory and applications to finance, Mathematical finance 13(2): 301- 330, Feb 2003.
7. Yaozhong Hu, Bernt Øksendel, Fractional white noise calculus and applications to finance, Infinite dimensional analysis, Volume 6, Issue 1, March 2003.
8. Yeliz Yolcu Okur, White noise generalization of the Clark - Ocone formula under change of measure, Stochastic analysis and applications, London, 1106 -1121, October 2013.
WHITE NOISE AND ITS FINANCIAL APPLICATIONS
MA. VU THI HUONG SAC
Basic Science Faculty, Foreign Trade University, Ha Noi
ABSTRACT:
White noise appears as the indispensable part of economical, logistic, medical models, especially financial models. White noise is a stochastic process, which is used in the models as the residuals. Based on white noises characteristics, experts generate mathematical financial models to estimate the parameters within them as well as predict the future value of assets.
Keywords: White noise, financial models.
Xem tất cả ấn phẩm Các kết quả nghiên cứu khoa học và ứng dụng công nghệ số 07 tháng 06/2017 tại đây
